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- Sum of product form(SOP) 변수들을 곱하고(AND) 이 것들을 모두 더한다(OR). …
- Product of sum(POS) 변수들을 더하고(OR) 이들을 곱한다(AND). …
- 드 모르간 법칙을 이용하면 두 표현을 서로 바꿀 수 있다.
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2.4 SOP과 POS 그리고 카르노 맵
SOP sum of product 의 약자로 곱의 합.. … 위와 같이 TRUTH Table이 주어졌다고 가정했을 때, POS로 표현하는 방법은 다음과 같다.
Source: optimuslee.tistory.com
Date Published: 2/23/2022
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SOP & POS 해석 – Daum 블로그
SOP (Sum of Products) OR(Sum) gate 회로일 경우 풀이 표준 형식의 수식 위 수식에 대한 논리 회로를 그리면 다음과 같습니다.
Source: blog.daum.net
Date Published: 2/2/2021
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이산수학 부울 대수와 논리회로 – SOP, POS – 네이버 블로그
안녕하세요. 이번에는 논리회로에서 SOP 와 POS 알아보도록 하겠습니다. … 최소항(minterm)에 의한 논리식의 표현이며 진리표의 결과 중에서 ‘1’로 나오는 …
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 10/29/2021
View: 9063
6장 부울 함수의 간소화 – 한국기술교육대학교
SOP로 최소화할 때는 ‘1’로 구성되는 최대 인접항으로 묶고 POS로 최소화할때는 ‘0’ … 함수 값이 1인 최소항을 구해 SOP 형식을 직접적으로 NAND 게이트로 변환(동.
Source: cms3.koreatech.ac.kr
Date Published: 2/24/2022
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디지털 회로 개론 09(카르노맵 2) – velog
그렇다면 SOP는 언제쓰고 POS는 언제 사용하여야 하는 것일까? 이건 두개의 사례를 모두 해보고 게이트의 갯수를 보고 결정할 수도 있고 혹은 속도적 측면 …
Source: velog.io
Date Published: 1/24/2022
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[Digital design] 5변수 K-map, don’t care 조건, POS로 나타내기
이제까지는 간략화 과정을 거치면 SOP형태로 불 함수를 얻었다. 이번에는 POS형태로 얻는 방법을 소개하겠다. 위의 식을 보고 1을 묶어 간소화 …
Source: issac-rok.tistory.com
Date Published: 6/28/2021
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내가 공부한 논리회로 설계13. Minterm과 SOP 최적화
Product of Sum Terms 이 되겠습니다. Sum Term들의 곱이라고 봅니다. 줄여서 POS라고 부릅니다. 앞으로 굉장히 많이 보게 될 것입니다.
Source: haai.tistory.com
Date Published: 12/27/2022
View: 4129
표준형과 정형 – 코딩스낵
Standard Form (표준형) SOP (Sum of Product, 곱들의 합) POS (Product of Sum, 합들의 곱) 어떤 함수가 SOP 형태나 POS 형태로 나타나게..
Source: gusdnd852.tistory.com
Date Published: 2/1/2022
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- Author: SyncSignal싱크시그널
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- Date Published: 2021. 4. 16.
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6.SOP, POS 단순화와 카르노 맵 (Karnaugh Map)
Canonical Form
지난 강의에서 배웠듯, 불 연산을 SOP나 POS로 나타내는 것을 Canonical Form이라 한다.
Sum of product form(SOP) 변수들을 곱하고(AND) 이 것들을 모두 더한다(OR). $ \text{eg:} f = AB + CDE $
Product of sum(POS) 변수들을 더하고(OR) 이들을 곱한다(AND). $ \text{eg:} f = (A+B)(C+D+E) $
드 모르간 법칙을 이용하면 두 표현을 서로 바꿀 수 있다.
Canonical Form은 효율적이지 않지만 때때로 분석과 디자인에 용이할 때가 있다. Canonical Form의 장점은 모든 변수들이 어떻게 변화하는지 알 수 있다는 것이다. 각 변수는 생략될 때가 많지만 아래와 같이 복원할 수 있다.
$\begin{align*} f(A,B,C) &= AB + BC\\ &= AB(C+\overline{C}) + (A+\overline{A})BC\\ &= ABC + AB\overline{C} + ABC + \overline{A}BC\\ &= ABC + AB\overline{C} + \overline{A}BC \end{align*}$
SOP와 POS는 진리표에서 함수값이 각각 TRUE/FALSE를 갖는 행들의 합으로 표기할 수도 있다.
$f = \Sigma(3,6,7)$
진리표로 회로 설계하기
변수 3개를 갖는 아래 진리표를 이용해 논리 회로를 설계해보자.
$A$ $B$ $C$ $x$ SOP Expression 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 $\overline{A}BC$ 1 0 0 0 1 0 1 1 $A\overline{B}C$ 1 1 0 1 $AB\overline{C}$ 1 1 1 1 $ABC$
진리표의 출력이 1인 행마다 각 변수를 AND 한 minterm을 적어준다. 출력을 SOP 형식으로 적어준다.
$$x = \overline{A}BC + A\overline{B}C + AB\overline{C} + ABC$$ 식을 단순화 해준다.
$$\begin{align*}x &= \overline{A}BC + A\overline{B}C + AB\overline{C} + ABC\\ &= \overline{A}BC + ABC + A\overline{B}C + ABC + AB\overline{C} + ABC\\ &= BC(\overline{A} + A) + AC(\overline{B} + B) + AB(\overline{C} + C)\\ &= BC + AC + AB\end{align*}$$
카르노 맵Karnaugh Map
지금까지는 복잡한 회로를 단순화하기 위해 불 대수의 법칙들을 활용했다. (교환 법칙, 드 모르간 법칙 등의 응용) 논리 회로 단순화를 위한 또 다른 방법으로 카르노 맵, K-맵이 있다.
카르노 맵은 진리표를 기반으로 그린다.
row $x$ $y$ 식 0 0 0 $\overline{x}\overline{y}$ 1 0 1 $\overline{x}y$ 2 1 0 $\overline{y}$ 3 1 1 $xy$
$\overline{y}$ $y$ $\overline{x}$ 00
0 01
1 $x$ 10
2 11
3
카르노 맵의 각 셀들은 가능한 모든 조합의 경우를 표기한다.
3개의 변수를 갖는 카르노 맵
$\overline{y}\overline{z}$ $\overline{y}z$ $yz$ $y\overline{z}$ $\overline{x}$ 000
0 001
1 011
3 010
2 $x$ 100
4 101
5 111
7 110
6
이 때, 수평/수직으로 이동할 때 오직 하나의 변수만이 변화한다.
카르노 맵의 단순화
과정
K-맵을 만들고 진리표에 따라 1과 0을 넣는다. 다른 1들과 이웃하지 않는 격리된 1들을 묶는다. (single loops) 하나의 1과 이웃하는 1들을 찾아 묶는다. (double loops)
이때, 양 끝의 셀들은 서로 이웃해 있다. (아래 예시의 주황색 묶음 참고) $2^n$개의 1들이 이웃해 있는 그룹을 찾아 묶는다.
아래 예시의 초록색 묶음 참고 이제 겹치는 그룹들을 없에되, 최소한의 항을 남기는 것을 목표로 한다. 아직 그룹에 속해있지 않은 1이 있으면 single loop로 묶는다.
아래 파란색 묶음 참고 그룹들을 최소한으로 남겼으면 적절히 OR나 AND로 묶는다.
예시
$\overline{y}\overline{z}$ $\overline{y}z$ $yz$ $y\overline{z}$ $\overline{w}\overline{x}$ 0000 0001 0011 0010 $1$ $\overline{w}x$ 0100 0101 $1$ 0111 $1$ 0110 $wx$ 1100 1101 $1$ 1111 $1$ 1101 $w\overline{x}$ 1000 $1$ 1001 1011 1010 $1$
위 K-맵을 단순한 SOP로 나타내면 아래와 같다.
$f = w’xy’z + w’xyz + wxy’z + wxyz + w’x’yz’ + wx’y’z’ + wx’yz’$
이를 묶어진 그룹을 통해 간소화하면 아래와 같다.
$f = wx’y’z’ + xz + yz’$
무관항 처리
때때로 일부 조합이 절대 일어나지 않거나, 무슨 결과를 갖더라도 무관한 경우가 있다. 이런 항을 무관항 또는 “don’t care”라 부르고 X로 표시한다.
X는 K-맵에서 필요에 따라 1로 쓸 수도 있으나, 꼭 그룹에 들어가지 않아도 된다.
$\overline{A}$\overline{B}$ $\overline{A}B$ $AB$ $A\overline{B}$ $\overline{C}$ X (얘는 버리고) 0 1 X (얘는 취한다.) $C$ 0 0 1 1
POS의 K-맵
Sum of product가 아닌 Product of sum 형식으로 K-맵을 응용할 때는 그룹을 0끼리 지어준다는 것만 신경쓰면 된다.
5 변수 카르노 맵
5개의 변수를 갖는 카르노 맵은 4변수 카르노 맵 위에 하나의 카르노 맵을 더 쌓는 것으로 이해할 수 있다.
BCDE를 갖는 4변수 카르노 맵 두개를 겹쳐놓은 이미지
5 변수 카르노 맵의 그룹
5 변수 카르노 맵에서는 상하좌우에 인접한 1 뿐만 아니라 겹쳐진 카르노 맵과의 인접도 고려해야 한다.
5 변수 카르노맵의 인접
2.4 SOP과 POS 그리고 카르노 맵
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회로를 설계할 때 쓰는 표현 기법과 수단에 대해 알아보도록 하겠다. 원하는 결과물을 만들 수 있도록 중간 과정을 간략하게 할 수 있는 방법에 대해 소개하도록 하겠다.
● SOP
sum of product 의 약자로 곱의 합이라는 의미이다. 곱으로 표현한 다음 그 결과 값을 더해주어 식으로 표현하는 방법이다. 예를 들어 설명하도록 하겠다.
A B C F F’ 0 0 0 0 ->m0 1 0 0 1 1 ->m1 0 0 1 0 0 ->m2 1 0 1 1 1 ->m3 0 1 0 0 0 ->m4 1 1 0 1 1 ->m5 0 1 1 0 1 ->m6 0 1 1 1 1 ->m7 0
A, B, C가 입력 값이고 F는 결과 값이며 F’는 결과 값을 반대로 바꾼 값이다.
위와 같이 TRUTH Table이 주어졌다고 가정했을 때, SOP로 표현하는 방법은 다음과 같다.
우선 결과 값에서 1로 표시된 부분만 신경쓰면 된다.
결과 값이 1이 나오게 한 입력 값을 곱해서 모두 더해주면 된다.
입력 값이 0이었다면 A’와 같이 표기하면 되고 입력 값이 1이었다면 A와 같이 표현하면 된다.
F(A,B,C,D)=$\sum$ m(1,3,5,6,7)=A’B’C+A’BC+AB’C+ABC’+ABC
● POS
product of sum의 약자로 합의 곱이라는 의미이다. 합으로 표현한 다음 그 결과 값을 더해주어 식으로 표현하는 방법이다.
A B C F F’ 0 0 0 0 ->m0 1 0 0 1 1 ->m1 0 0 1 0 0 ->m2 1 0 1 1 1 ->m3 0 1 0 0 0 ->m4 1 1 0 1 1 ->m5 0 1 1 0 1 ->m6 0 1 1 1 1 ->m7 0
위와 같이 TRUTH Table이 주어졌다고 가정했을 때, POS로 표현하는 방법은 다음과 같다.
우선 결과 값에서 F’=1으로 표시된 부분만 신경쓰면 된다. 혹은 F=0으로 표시된 부분만 신경쓰면 된다.
결과 값이 F=0이 나오게 한 입력 값을 더해서 곱해주면 된다.
입력 값이 0이었다면 A와 같이 표기하면 되고 입력 값이 1이었다면 A’와 같이 표현하면 된다.
F(A,B,C,D)=$\prod$ M(0,2,4)=(A+B+C)(A+B’+C)(A’+B+C)
● Tips 좀 더 쉽게 POS를 구하는 방법
F가 0인 값을 기준으로 SOP를 먼저 구한다.
F’에 드모르간의 법칙을 적용해서 F를 구한다.
F’=A’B’C’+A’BC’+AB’C’
F=(A’B’C’+A’BC’+AB’C’)’
=(A+B+C)(A+B’+C)(A’+B+C)
● K-Map
A B C D F 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
위와 같이 truth table이 주어졌을 때, 카르노 맵은 아래와 같이 작성할 수 있다.
SOP 표현 방식
A’B’=00 A’B=01 AB=11 AB’=10 C’D’=00 0 0 0 0 C’D=01 0 1 1 0 CD=11 0 1 1 0 CD’=10 0 0 0 0
$2^{N}$개로 결과 값이 1인 것듣만 묶어준다. 위에서는 정사각형 모양으로 묶을 수 있다. 그리고 입력 값들이 변하지 않는 것들만 남겨준다. A’B와 AB 중에 B가 겹치므로 B만 남기면 된다. C’D와 CD중에 D만 겹치므로 D남기면 된다. 그런 다음 남아있는 B와 D를 곱해준다.
F=BD 라는 결론을 얻을 수 있다.
이렇게 표현하는 방식이 K-Map을 이용한 SOP 표현 방법이다.
POS 표현 방식
A’B’=00 A’B=01 AB=11 AB’=10 C’D’=00 0 0 0 0 C’D=01 0 1 1 0 CD=11 0 1 1 0 CD’=10 0 0 0 0
F’ =C’D’+A’B’+CD’+AB’=D’+B’
F =(B’+D’)’
=BD
SOP을 기준으로 하거나 POS를 기준으로 하거나 결과 값은 항상 같게 나와야한다. 이를 꼭 명심하자~!!
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“elec”의 블로그
SOP (Sum of Products)
OR(Sum) gate 회로일 경우 풀이
표준 형식의 수식
위 수식에 대한 논리 회로를 그리면 다음과 같습니다.
Not Gate는 문자로 료시합니다.
위 Gate회로에서 사용되는 입력은 A,B,C로 3개입니다.
3개의 입력 f =(A,B,C)는 23 = 8개의 입력 조건이 나옵니다.
이 조건에 대해 Table 을 만들어 보면 아래와 같습니다.
여기서 부터가 중요합니다.
3개의 입력 AND Gate는 아래 조건이 만족 하여야 출력이 나옵니다.
3개의 입력 조건을 대입하여 출력을 구해 봅니다.
위 표에서 3개의 입력을 가진 AND Gate가 모두 “1”,”1″,”1″ 조건을 만족 할때 AND Gate의 출력이 나옵니다.
3 입력 OR Gate는 3개의 AND Gate 중 1개 이상에서 “1”의 출력이 나오면 OR Gate가 출력을 냅니다.
위 표를 보고 Karnugh도 를 만들고 대입하여 봅니다.
Karnugh도
POS (Product of Sums)
AND(Product) gate 회로일 경우 풀이
표준 형식의 수식
위 수식에 대한 논리 회로를 그리면 다음과 같습니다.
Not Gate는 문자로 료시합니다.
위 Gate회로에서 사용되는 입력은 A,B,C로 3개입니다.
3개의 입력 f =(A,B,C)는 23 = 8개의 입력 조건이 나옵니다.
이 조건에 대해 Table 을 만들어 보면 아래와 같습니다.
3개의 입력 OR Gate는 아래 조건이 만족 하여야 출력이 나옵니다.
3개의 입력 조건을 대입하여 출력을 구해 봅니다.
위 표에서 3개의 입력을 가진 OR Gate는 3개중 1개의 입력이 “1”이 되면 OR Gate는 출력이 나옵니다.
3 입력 AND Gate는 3개의 OR Gate 출력 이 모두 “1”,”1″,”1″ 이 나와야 AND Gate가 출력을 냅니다.
위 표를 보고 Karnugh도 를 만들고 대입하여 봅니다.
결론
SOP 와 POS 를 비교 하여 보면 그림과 같습니다.
논리회로 로 간락화 (1)
(간락화)
논리회로 로 간락화 (2)
(간락화)
흡수의 법칙을 이용한 계전기 회로
이산수학 부울 대수와 논리회로 – SOP, POS
☆ SOP
결과 중에서 1로 나오는 것을 보도록 하겠습니다.
1이 결과로 나오는 것은 아래와 같습니다.
(x = 0, y = 0)
(x = 0, y = 1)
(x = 1, y = 0)
SOP에서는
x 가 0일 경우는 x’
x 가 1일 경우는 x
이런 식으로 표현합니다.
[Digital design] 5변수 K-map, don’t care 조건, POS로 나타내기
학부생의 입장에서 내용을 정리하였으며 피드백을 환영합니다.
이번 포스팅에서는 5변수 k맵과 don’t care 조건에 관해 포스팅 할 것이다.
5변수 K-map
저번 시간까지 4변수 k-map까지 알아보았다. 이번에는 5변수 k-map을 소개할 것이다.
1. 5변수 k-map의 형태
4변수 카르노맵을 두개 만들면 5변수 카르노 맵이 완성되고 1을 채우는 순서는 동일하다.
2. 1을 묶는 법
이렇게 포개져 있다고 생각하고 위 아래로도 같은 규칙으로 묶어주면 된다,
이렇게 위 아래를 묶어 4개의 1을 묶은 것이다.
don’t care조건
말그대로 신경쓰지 않는 것이다. 카르노 맵에서 0이오든 1이오든 상관 없는 자리를 말한다. 이 경우 유리한 쪽으로 0과 1중에 선택하면 된다. 카르노 맵에서 don’t care조건은 X로 나타낸다.
예를 들어보겠다.
여기서 X자리에 0또는 1을 마음대로 넣어 1을 묶어주면
이렇게 두가지가 가능하다. 따라서
두가지 식을 얻을 수 있다. 2가지 식중에서 1개를 취하면 된다.
POS로 나타내기
이제까지는 간략화 과정을 거치면 SOP형태로 불 함수를 얻었다. 이번에는 POS형태로 얻는 방법을 소개하겠다.
위의 식을 보고 1을 묶어 간소화 하면 SOP의 형태로 얻어진다. 반면 0을 묶으면
다음 식의 간소화 된 SOP를 얻는다. 0을 묶어 간소화를 해서 보수를 취하면 POS의 형태로 얻을 수 있다.
내가 공부한 논리회로 설계13. Minterm과 SOP 최적화
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이전에
2.1 에서는 Binary logic이 무엇인지 그리고 로직 게이트를 공부했습니다.
2.2 에서는 불대수와 불대수에서만 성립하는 몇 가지 항등식에 대해서 공부해보았습니다. 항등식을 이용해서 회로를 간단히 하는 방법을 공부해보았습니다.
2.3 에서 공부할 내용은 회로를 최적화하기 위한 새로운 것들을 공부합니다.
그중에서 Sumterm, Productterm, Maxterm, Minterm을 공부합니다.
(Term: 항)
25. 몇가지 기본개념을 공부해보겠습니다. 정확히 알고 넘어가길 바랍니다.
Sumterm, Productterm, Maxterm, Minterm에 대한 기본개념이 정의되어있는데 정의를 정확히 숙지하고 있어야 합니다.
product: 곱하기 기호로 표기하는 것>> AND로 게이트로 연결되는 회로
sum: 더하기기호로 표기하는 것 >> OR로 게이트로 연결되는 회로
ProducTerm은 AND연산으로 구성되어있는 항을 의미합니다.
25-1. Minterm은 Product Term의 일종입니다.
Product Term의 조건중 일부를 만족하면 Minterm이라고 합니다.
그럼 그 조건이 뭐냐? 모든 입력 변수들이 하나씩은 다 포함되어 있어야 합니다.
어떤 입력x,y,z가 있다고 합시다.
입력 x,y,z를 사용해서 만들 수 있는 여러 가지 product Term이 있습니다.
예를 들면 x/yz와 같은 productTerm 있고,
x/z도 하나의product Term입니다.
그중에서 x/yz라고 하는 것이 Minterm에 속합니다.
모든 입력 변수가 포함되어있는 ProductTerm을 Minterm이라고 합니다.
x/z 같은 경우 Product Term이지만 y변수가 없기 때문에 Minterm이 될 수 없습니다.
아래 그림과 같이 나타낼 수 있겠습니다.
변수의 개수를 셀 때 y,/y을 다른 거라고 생각하고 count하지 않았나?
정리: ProducTerm 중에서 모든 변수가 한 번씩 포함되어있다면 Minterm이라고 한다.
25-2. Maxterm 은 sum Term의 일종입니다.
x, y, z라는 입력 변수를 가질 때
Sumterm으로 만들어지는 여러 항이 있을 것입니다.
예를 들면 x+y+z , x+/y 등등이 있겠습니다.
그중 특별한 조건을 만족하는 경우에 Maxterm에 포함됩니다.
그 특별한 조건은 모든 변수가 한 번씩 포함되어있는 Term을 말합니다.
예를 들어서 x+y+z,/x+y+z 와 같은 항을 말합니다.
Q:
입력 변수가 x, y, z일 때 MinTerm의 개수는?
8개입니다.
Q2
입력 변수가 x, y, z일 때 MaxTerm의 개수는?
8개입니다.
Q3
입력 변수가 w, x, y, z일 때 Maxterm의 개수는?
16개 가 되겠습니다.
위의 기본개념들이 잘 이해되어야 다음 내용들을 이해할 수 있겠습니다.
26. Sum of Producs를 알아보겠습니다.
이는 Sum of Product terms와 같은 말입니다.
약어로 SOP라고 이야기할 것입니다.
ProductTerm의 Sum꼴로 되어있는 경우를 말합니다.
AB, CD, CE는 모두 Product Term입니다.
이것들을 OR Gate로 연결한 아래와 같은 회로를 SOP라고 합니다.
SOP와 같은 방식으로 식을 구현하려면 AND들이 필요합니다.
1st STAGE는 AND게이트로 구성된다는 이야기입니다.
2nd Stage는 OR게이트로 구성됩니다.
그림
즉, 복수개의 ANDGate와
단일의 OR게이트로 연결되는 회로를 말합니다.
27. 이것과 상반되는 Product of Sum이라는 개념도 있습니다.
Product of Sum Terms 이 되겠습니다.
Sum Term들의 곱이라고 봅니다.
줄여서 POS라고 부릅니다.
앞으로 굉장히 많이 보게 될 것입니다.
X라는 것도 하나의 SumTerm
/Y+Z 도 하나의 SumTerm
X+Y+/Z 도 하나의 SumTerm
각각 SumTerm들의 곱입니다.
SumTerm들의 AND로 표기되어있으므로 Product of Sum Term(Product of Sums)라고 부릅니다.
1st stage에 OR 게이트가 여러 개
2nd Stage에 AND게이트가 한 개 나옵니다.
28. 말로만 듣던 민텀
ProductTerm 중에서 어떤 조건을 만족하면 Minterm이라고 하였습니다.
모든 입력 변수가 반드시 한번 나타나야 합니다.
(not 이 있어도 되고 없어도 됩니다.>> X와 /X 중 하나만 등장해도 X가 등장했다고 생각.)
두 번째 줄의 설명은 초반에 퀴즈로 무슨 말인지 알 수 있을 것입니다.
8개의 Minterm이 있습니다.
입력 변수가 X, Y, Z인 경우에 대해 가능한 입력을 작성해보았습니다.
각 입력에 대해서 Minterm을 입력 변수로 매핑해보겠습니다.
근데 어떤 매핑 룰을 적용할 거라면
값이 0이면 Xnot을 붙이고, 1이면 not을 붙이지 않습니다.
아래와 같이 작성할 수 있습니다.
그리고 Minterm을 m0부터 m7까지 맵핑시킬 수 있습니다.
Minterm이 /X /Y/Z이면 m0에서 m7은 다음과 같은 값을 가집니다.
m0일 때만 1이 출력됩니다.
반대로 생각해보면 재밌는 성질이 생기는데
/X,/Y,/Z은 특정한 영역에서만 1이 되는 것입니다.
특정한 입력이 뭐냐면 잘 생각해보면 x가 0이고 y가 0이고 z가 0일 때만 1이 됩니다.
AND로 연결되어있기 때문에 입니다.
하나 더 해보겠습니다.
/X/YZ의 출력 값을 알아보겠습니다.
X가 0이고, Y가 0이고 Z가 1일 때만 1이 됩니다. 나머지는 0이 됩니다.
세 개가 AND게이트로 연결되어있기 때문입니다.
위와 같이 생각해서 나머지 Minterm도 채워보면 아래와 같은 표가 완성됩니다.
대각선에서만 해당 값이 1인 것을 알 수 있습니다.
29. 이러한 PROPERTY를 이용해서 재밌는 것을 해보려고 합니다.
왼쪽에 진리표가 있습니다.
입력이 X, Y, Z이고 출력은 F인 진리표입니다.
위와 같이 진리표가 주어졌을 때 이를 만족시키는 회로를 구하는 것이 문제입니다.
불대수가 있으면 그것을 가지고 회로를 그리는 방법, 진리표 채우기를 공부했습니다.
그때 진리표가 있을 때 회로를 그리거나, 수식을 찾는 방법을 나중에 공부해본다고 했는데
그것을 지금 해보려고 합니다.
그렇게 하기 위해서 Minterm을 알아야 합니다.
출력 F는 어떻게 작성하냐면 진리표가 있을 때 출력 F를 입력의 함수로 적을 수 있습니다.
값이 1인 녀석을 Minterm의 Sum으로 작성할 수 있습니다.
조금 헷갈리니까 바로 예시를 들어서 설명해보도록 하겠습니다.
진리표에서 출력 값이 1인 행들을 작성해줍니다. (행의 숫자는 0부터 시작합니다.)
왼쪽 수식
입력값이 X, Y, Z로 3개인 논리함수를
F 또는 F(X, Y, Z)로 작성할 수 있습니다.
앞에서 배운 심벌을 맵핑하는 것을 이용하면
오른쪽과 같은 수식으로도 나타낼 수 있습니다.
의미: Minterm값이 1인 것들의 Sum으로 나타내겠다
기호로는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
F=m2+m3+m5+m7로 작성할 수 있습니다.
진리표에서 다음행을 예로 들어 설명해보겠습니다.
m2에 대응하는 입력값들을 작성해주면 됩니다.
(진리표에서 3번째 행의 출력을 구성하는 입력값을 작성)
3,5,7번째 출력 값을 이루는 입력값들을 작성해주면 됩니다.
그런뒤에 OR게이트로 연결하면 됩니다.
수식을 불대수항등식을 이용하여 간단하게 나타내면 됩니다.
아래사진에서
두번째줄의 항이 가장많은 논리함수를 Sum of Minterm이라고 합니다.
맨마지막줄에 있는 논리함수를 SOP(Sum of product,Sum of product terms)로 최적화했다고 말합니다.
요약하자면
출력을 1로 만드는 입력 세트들을 Minterm으로 만들 수 있습니다.
이 Minterm 들을 sum으로 연결하면 됩니다.
그러면 논리 함수 F가 완성됩니다.
왜 그런지 생각해봅시다.
F는 Minterm의 Sum형태로 주어져 있습니다.
F는 언제 1이 될 수 있을까요? (Hint: OR로 연결되어있다. )
>> F는 term 중 하나의 출력이 1일 때 1이 될 수 있습니다.
조금 더 풀어서 이야기한다면 (위 사진의 두번째줄 Sum of Minterm에서)
(첫 번째 항이 1이 되려면)
X는 0, Y는 1, Z는 0 이 되어야 합니다.
(두 번째 항이 1이 되려면)
X는 0, Y는 1, Z는 1 이 되어야 합니다.
(세 번째 항이 1이 되려면)
X는 1, Y는 0, Z는 1 이 되어야 합니다.
(네 번째 항이 1이 되려면)
X는 1, Y는 1, Z는 1 이 되어야 합니다.
F는 첫 번째, 두 번째, 세 번째, 네 번째 항이 1이면 1이다.라는 이야기입니다.
다시 말해서 위의 4가지 조건들 중 하나를 만족하면 1이 된다는 것입니다.
지금 한 이야기가 진리표 이야기입니다.
위의 4가지와 같은 입력값일때 출력값을 진리표에서 찾아보면 그 행의 출력 값이 1인 것을 알 수 있습니다.
! 진리표에서 담고 있는 정보와 수식의 의미가 같음을 알 수 있습니다.
이해는 한번 하면 되고 기계적으로 연습해보면 됩니다.
불대수를 이용해 최적화까지 한 논리 함수를 이용하여 회로를 그리면 다음과 같습니다.
※ 하나 기억해야 할 것
F 수식이 있는데 sum of Minterm에 해당하는 것은??
(불대수로 항등식으로 최적화하는 과정 중에 있는 수식 3가지 그림 첨부)
다음의 진리표를 주고 Sum of Minterm으로 표현하시오. 하는 문제가 있습니다.
답은 1번만 답이 됩니다.
문제가 Sum of Minterm으로 표현하라고 했으므로
Minterm의 의미를 생각하면 입력 변수가 각각 하나씩 있어야 합니다.
2,3번의 경우에는 Minterm이 아닙니다.
EX. 또 다른 문제에서 SumofProduct로 표현하라고 했다면 정답은 3번이 되겠습니다.
3번이 SOP로 나타내었으면서 가장 간단하기 때문입니다.
보통 진리표를 주고 회로를 구현해야 한다면
먼저 Sum of Minterm으로 표현한 다음에,그 식을 불대수항등식을 이용해 최적화한뒤,
SOP를 얻고 회로를 구현하면 되겠습니다.
30-1. 비슷한 문제를 하나 풀어보도록 하겠습니다.
위와 같이 진리표가 주어져 있습니다.
입력은 X, Y, Z이고 출력이 E인 진리표가 있습니다.
1) Sum of Minterm으로 나타내어 보고,
2) SOP로 최적화하고 (곱들의 합.)
3) 회로를 그려보시오
Sum of Minterm
답을 작성할 때는 맨 마지막 줄만 작성해야 합니다.
진리표를 보면서 m0 출력 값을 작성하면 헷갈리기 때문에 위쪽에 입력값들을 파란색으로 작성해두었습니다.
SOP
회로
30-2. 조금 더 심화해서 다음 문제를 풀어보겠습니다.
입력 변수가 많아지면 조금 더 복잡해질 뿐입니다.
출력은 F이고 입력 변수로 WXYZ가 있다고 알려주는 것입니다.
Sum of Minterm으로 나타내고 Sum of product로 최적화해보라는 문제입니다.
0000부터 1111까지
출력될 것입니다..
0가 0000이라면
,,, 0 ,2,4,6,13,15를 이진수로 나타내면 되겠구나.
그리고 그 이진수에 대응하는 게이트를 찾으면 된다.
그것을 불대수 항등식을 이용해 최적화하면 SOP가 되고
SOP를 이용해서 회로를 쉽게 그릴 수가 있겠습니다.
다음 포스팅에서 풀이를 하도록 하겠습니다.
반응형
표준형과 정형
0. 기본 용어
Literal (리터럴) : 함수에 나타나는 변수를 의미한다.
1. Standard Form (표준형)
SOP (Sum of Product, 곱들의 합)
POS (Product of Sum, 합들의 곱)
어떤 함수가 SOP 형태나 POS 형태로 나타나게 되면 그러한 함수를 표준형이라고 한다. 예를 들어 $F = AB + BC$와 같이 나타나면 곱들이 합해진 형태이기 때문에 SOP가 되고 $F = (A+B) \cdot (B+C)$ 와 같이 나타나면 합들이 곱해진 형태이기 때문에 POS이다. 이렇게 SOP, POS로 나타나지 않는 경우는 표준형이 아니다. 보통 표준형 함수는 아래와 같이 2 Level로 구현된다.
[그림] 표준형 함수2. Min Term & Max Term (최소항 & 최대항)
1) Min term (최소항) : 모든변수가 한 번씩 나타나 곱의 형태를 이루고, 그 변수들이 true 혹은 false의 형태를 취하게되는 경우를 최소항이라고 한다. 000부터 111까지 있다면 위 부터 m0, m1, … m7 등으로 소문자 m을 이용해 표기한다.
a b c Min Term 0 0 0 $a’ \cdot b’ \cdot c’$ (m0) 0 0 1 $a’ \cdot b’ \cdot c$ (m1) 0 1 0 $a’ \cdot b \cdot c’$ (m2) 0 1 1 $a’ \cdot b \cdot c$ (m3) 1 0 0 $a \cdot b’ \cdot c’$ (m4) 1 0 1 $a \cdot b’ \cdot c$ (m5) 1 1 0 $a \cdot b \cdot c’$ (m6) 1 1 1 $a \cdot b \cdot c$ (m7)
벤다이어그램에서 보면, 최소항 영역들은 독립된 각 영역으로 생각할 수 있다. 예를 들어 ABC, 세개의 변수가 있고 각각 1, 0, 0이라고 한다면 이 것의 최소항은 아래의 영역이 된다.
2) Max Term (최대항) : 모든변수가 한 번씩 나타나 합의 형태를 이루고, 그 변수들이 true 혹은 false의 형태를 취하게되는 경우를 최대항이라고 한다. 000부터 111까지 있다면 위 부터 M0, M1, … M7 등으로 대문자 M을 이용해 표기한다.
a b c Max Term 0 0 0 $a + b + c$ (M0) 0 0 1 $a + b + c’$ (M1) 0 1 0 $a + b’ + c$ (M2) 0 1 1 $a + b’ + c’$ (M3) 1 0 0 $a’ + b + c$ (M4) 1 0 1 $a’ + b + c’$ (M5) 1 1 0 $a’ + b’ + c$ (M6) 1 1 1 $a’ + b’ + c’$ (M7)
Max Term과 Min Term은 서로 보수관계이다. 예를 들어 만일 아래의 벤다이어그램에서 100의 Min Term 영역은 위에서 본 영역이였지만 100의 Max Term은 A’ + B + C로 아래 영역에 해당한다.
3) Min Term과 Max Term의 관계 : 위와 같이 Min Term과 Max Term은 보수의 관계를 가진다. 변수 A, B, C가 만약 1, 0, 0의 경우 최소항은 순수한 A의 영역만을 가리키고, 최대항은 순수한 A의 영역을 제외한 모든영역을 가리킨다.
3. Canonical Form (정형)
SOm (Sum of min term, 최소항의 합)
POM (Product of Max term, 최대항의 곱)
정형 함수는 표준형 함수의 특수한 케이스이다. SOP중에서 더해지는 곱들이 모두 최소항의 형태를 띈다면 그런 형태를 SOm (최소항의 합)이라고 하고, POS중에 더해지는 곱들이 모두 최대항의 형태를 띈다면 그런 형태를 POM (최대항의 곱)이라고 한다.
예를 들어, 3개의 변수 A, B, C가 있을 때 F = ABC + AB’C + A’BC와 같이 더해지는 모든 곱항들이 최소항인 경우, SOm이라고 할 수 있고 이런 경우 함수 F는 정형이다. 만일 G = ABC + AB’C + A’B와 같이 주어지면 곱들의 합이기 때문에 G는 SOP이고 표준형은 맞지만, 세번째 A’B가 최소항이 아니기 때문에 정형은 아니다.
1) SOm 표기법 : 정형과 비정형의 표기법은 다음과 같이 표기할 수 있다. 만약 F = A’B’C’ + A’B’C + A’BC’이라고 하면 이 함수는 세개의 최소항이 더해졌으므로 SOm형태의 정형함수이고, F = m0 + m1+ m2와 같이 쓸 수 있다. 이를 합의 기호 시그마를 이용해 표현하면 F = ∑m(0, 1, 2)와 같이 표기할 수 있다.
2) POM 표기법 : 만약 F = (A + B + C) (A + B + C’) (A + B’ + C)와 같이 표기한다면 이 함수는 세개의 최대항이 곱해졌으므로 POM 형태의 정형함수이고, F = M0 M1 M2와 같이 표기할 수 있다. 이를 곱의 기호 프로덕트를 이용해 표현하면 F = ∏M(0, 1, 2)와 같이 표현할 수 있다.
3) SOm과 POM의 관계 : SOm인 정형함수 F = ∑m(3, 4, 5, 6, 7)이 있으면, 이 F= ∏M(0, 1, 2)와 같이 쓸 수 있다. POM과 SOm역시 보수관계이기 때문에 뒤집으면 서로가 된다.
4. 표준형을 정형으로 만들기
아래처럼 표준형을 정형으로 바꿀 수 있고, 반대로 정형도 정형이 아닌 표준형으로 바꿀 수 있다. 아래처럼 수식을 이용해서 해도 좋지만 카르노맵을 이용하는 것이 훨씬 편리하다.
예제 1)
F = ab’ + ac
ab’ = (ab’c + ab’c’)
ac = (abc + ab’c)
F = ab’c + ab’c’ + abc + ab’c
F = m5 + m4 + m0 + m2
F = ∑m(0, 2, 4, 5)
F = ∏M(1, 3, 6, 7)
예제 2)
F = a’b’ + a’d + acd’
a’b’ = a'(0) b'(0) cd(00, 01, 10, 11)
a’d = a'(0) bc(00, 01, 10, 11) d(1)
acd’ = a(1) b(0, 1) c(1) d'(0)
a’b’ = 0000, 0001, 0010, 0011 = ∑m(0, 1, 2, 3)
a’d = 0001, 0011, 0101, 0111 = ∑m(1, 3, 5, 7)
acd’ = 1010, 1110 = ∑m(10, 14)
F = ∑m(0, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 14)
F = ∏M(4, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 15)
5. 정리
표준형 (SOP) : ab + ac + abc + …
표준형 (POS) : (a+b)(a+b+c)(b+c) …
Minterm (a, b, c) : a’b’c’ , a’b’c , a’bc’ … : 벤다이어그램의 독립된 최소영역
Maxterm (a, b, c) : (a+b+c), (a+b+c’), (a+b’+c) … : Minterm의 역(보수)관계
정형 (SOm) : a’b’c’ + a’b’c + a’bc’ + … / ∑m(0, 1, 2) : Minterm으로 구성
정형 (POM) : (a+b+c)(a+b+c’)(a+b’+c) … / ∏M(0, 1, 2) : Maxterm으로 구성
6. Reference
키워드에 대한 정보 sop pos 변환
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