Sin 라플라스 변환 | 라플라스 변환 쉽게 배우기 [1편] : (정의, 기본 공식 4가지) 83 개의 자세한 답변

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안녕하세요 🙂
앞으로는 미분방정식에서 중요한 개념인
‘라플라스변환’ 에 대해서 스터디 영상을 종종 올려드릴 예정이에요 ^^
같이 스터디 잘 진행봅시다 ㅎ

네이버 스터디용 블로그 : https://blog.naver.com/bmw9707121

sin 라플라스 변환 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요.

4장 삼각함수 라플라스 변환 – 네이버 블로그

가 되며 이로써 라플라스 변환표는 총 4줄이 완성 되었습니다. ㅎㅎ 이제 예제 몇개 풀어보며 마치도록 하겠습니다.

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Source: m.blog.naver.com

Date Published: 2/14/2021

View: 9987

삼각함수의 라플라스 변환 – 생새우초밥집

… \sin (at) dt \end{align*} L{sin(at)}​=∫0∞​e−stsin(at)dt=A→∞lim​[−a1​e−stcos(at)]0A​+A→∞lim​ …

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Source: freshrimpsushi.github.io

Date Published: 10/23/2021

View: 4581

3.2 Laplace Transform-2(라플라스변환법 기본공식들)

오늘은 라플라스 변환공식들중 대표적인 것(다항함수, 지수함수, … 삼각함수의 경우 cos과 sin이 서로 미분했을때 비슷해지기 때문에 서로에 대한 …

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Source: lifelectronics.tistory.com

Date Published: 6/8/2021

View: 476

제 5 강 라플라스 변환 (Laplace tansformation)

라플라스 변환(Laplace transform)과 역변환(Inverse transform). 함수 f(t)의 Laplace 변환공식 … sin. 2. 5. 변환함수의 미분(Differentiation of transforms).

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Source: elearning.kocw.net

Date Published: 1/16/2021

View: 6820

라플라스 변환 – 나무위키

라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정을 개략적으로 설명하면 … 이 방법을 적용하면 ‘일정 주기를 갖고 반복되는 함수형'(sin, cos, sinh, …

+ 여기에 보기

Source: namu.wiki

Date Published: 9/3/2022

View: 4298

15강. 라플라스 변환 / 라플라스 변환표 – 전자형 – Tistory

라플라스변환이란 시간영역에있는 함수를 주파수의 영역으로 바꿔주는 함수를 말합니다. 라플라스 변환을 사용하는 이유는 다양한 입력함수에 적용이 가능하다는 점 …

+ 여기를 클릭

Source: e-funny.tistory.com

Date Published: 4/2/2022

View: 9174

[공업수학] 2. 라플라스 변환(Laplace Transform) 예제

라플라스 변환은 미분방정식을 대수방정식 꼴로 변환시켜 보다 쉬운 방정식을 풀 수 있다는 이점을 가지고 있는 변환법이다. ​. 대수방정식은.

+ 여기를 클릭

Source: subprofessor.tistory.com

Date Published: 1/7/2022

View: 4327

#5.Laplace transform(8.문제 풀이) – STEMentor

그림출처 Laplace transform이 갖는 의의 기초적인 Laplace transform unit … 이번에는 분모의 인수분해가 불가능한데, 잘 쪼개보면 sin,cos sin …

+ 더 읽기

Source: stementor.tistory.com

Date Published: 2/6/2022

View: 3623

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주제에 대한 기사 평가 sin 라플라스 변환

• Author: BOS의 스터디룸
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• Date Published: 2019. 12. 27.
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4장 삼각함수 라플라스 변환

저번 시간에 이어서 이번시간도 표를 체워 봅시다.

오늘은 삼각함수 중에서도 위에 빈칸 뚫려있는

와 에 대해서 라플라스 변환을 해볼꺼에요.

(다른건 실용성도 없거니와 여러분이 가지고 계신 라플라스 변환표에도 없을거에요)

그럼 바로 시작하겠습니다.

먼저 에 대해서 를 구해보죠

정의를 먼저 가져오면 아래와 같죠

바로 대입해서 계산해보죠

일단 여기까지 계산해보면

가 나오죠

여기서 붉은 색으로 칠한 부분을 잘보면

라는 걸 알 수 있습니다. 따라서

가 되죠

에 대해서 정리해 주면

가 최종적으로 구해집니다.

즉 사인함수의 라플라스 변환은

가 됩니다.

이제 코사인으로 가봅시다.

를 라플라스 변환의 정의에 넣어보면

이 나옵니다.

여기서도 마찬가지로

에서 붉은색이

코사인의 라플라스 변환 식 이기 때문에

가 되죠

계속 계산해 보면

이라는 결과나 나왔습니다. 이라는 결과나 나왔습니다.

즉 코사인함수의 라플라스 변환은

가 되며 이로써 라플라스 변환표는 총 4줄이 완성 되었습니다.

ㅎㅎ 이제 예제 몇개 풀어보며 마치도록 하겠습니다.

첫번째 예제는

의 라플라스 변환 입니다.

공식에 의해 바로

이라는 결과를 얻을 수 있습니다.

두번째 예제는

를 해봅시다.

이것 역시 각각 공식에 의해 라플라스 변환을 해주면 됩니다.

가 됩니다.

마지막 예제는 를 풀어보겠습니다.

2장과 3장에 이어서 또 상수이죠 ㅋㅋㅋ

으로도 풀고 로도 풀어봤는데 또 뭐로 1이 될까요

방법은 간단합니다.

인 코사인함수면 됩니다.

에 대해서 공식에 바로 집어넣어보면

이 나오게 됩니다.(역시나 결과는 같죠)

이것으로 포스팅 마치도록 하겠습니다.

요약

1. Laplace Transform

2. Laplace Transform

삼각함수의 라플라스 변환

삼각함수의 라플라스 변환

삼각함수의 라플라스 변환

Laplace Transform of Trigonometric Function

공식

사인과 코사인의 라플라스 변환은 다음과 같다.

$$ \mathcal{L} \left\{ \sin (at) \right\} = \dfrac{a}{s^2+a^2},\quad s>0 $$

$$ \mathcal{L} \left\{ \cos (at) \right\} = \dfrac{s}{s^2+a^2},\quad s>0 $$

유도

$\sin (at)$

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ \sin (at) \right\}& =\displaystyle \int_0^\infty e^{-st}\sin(at)dt \\ &= \lim \limits_{A \to \infty} \left[-\dfrac{1}{a}e^{-st}\cos (at) \right]_0^A+ \lim \limits_{A \to \infty} \int _0^\infty -\dfrac{s}{a}e^{-st} \cos (at)dt \\ &= \dfrac{1}{a} – \lim \limits_{A \to \infty} \dfrac{s}{a} \left[ \dfrac{1}{a} \left[ e^{-st}\sin (at) \right]_0^A + \dfrac{s}{a}\int _0^A e^{-st} \sin (at) dt \right] \\ &=\dfrac{1}{a} – \dfrac{s^2}{a^2} \int_0^\infty e^{-st} \sin (at) dt \end{align*} $$

여기서 $\mathcal{L} \left\{ \sin (at) \right\} = \displaystyle \int_0^\infty e^{-st} \sin (at) dt$가 성립하므로,

$$ \begin{align*} \implies& &\dfrac{a^2+s^2}{a^2} \int _0^\infty e^{-st} \sin (at) dt &= \dfrac{1}{a} \\ \implies& &\int_0^\infty e^{-st} \sin (at)dt &=\dfrac{a}{s^2+a^2} \end{align*} $$

단, $\lim \limits_{A \to \infty} e^{-sA}\sin (aA)=0$을 만족해야하므로 $s>0$

■

$\cos (at)$

$\sin$의 결과를 이용하면 $\cos$의 라플라스 변환은 훨씬 쉽고 짧게 구할 수 있다.

$$ \begin{align*} \mathcal{ L } \left\{ \cos (at) \right\} &=\int _0^\infty e^{-st} \cos (at) dt \\ &= \lim \limits_{A \to \infty} \dfrac{1}{a} \left[ e^{-st} \sin (at) \right]_0^A + \dfrac{s}{a} \int_0^\infty e^{-st} \sin (at) dt \\ &= \dfrac{s}{a} \dfrac{a}{s^2+a^2} \\ &=\dfrac{s}{s^2+a^2} \end{align*} $$

단, $s>0$

■

같이보기

#3.2 Laplace Transform-2(라플라스변환법 기본공식들)

#0. 기본공식

지난글에서 간단하게 변환이란것에 대해 소개하고, 그 중 라플라스 변환이란 것에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 라플라스 변환공식들중 대표적인 것(다항함수, 지수함수, 삼각함수)들을 직접 계산해보고 결과를 얻어내 보겠습니다. 위의 표는 라플라스 변환표 입니다.

#1. 다항함수

다항함수의 경우 차수가 커져도 일정한 규칙이 보이기 떄문에 일단 t 부터 알아보도록하겠습니다.

t제곱도 넣어보도록 하겠습니다.

마지막항을 보면 t를 넣었을때와 비교해서 바뀐건 2t로 된것이지요? 즉 t를 넣었을때의 과정이 2번 이루어지고 t의 차수가 한번 더 곱해지는 것과 같으므로 값은

이 됩니다. t 세제곱을 넣어도 마찬가지일것입니다. 결국 분모의 차수는 t의 차수를 따라가고 적분되면서 t의 차수가 한번 더 곱해진다고 생각하면 분자는 1x2x3x4x….xN의 형태를 띄게 되겠지요. 그래서 일반식을 적어보면

이런식을 가지게 됩니다.

#2. 지수함수

지난 글의 마지막부분을 보면 s-shifting 이란것을 잠시 언급했을겁니다. e^at 같은 경우 라플라스 식안에도 지수함수가 들어가 있기 떄문에 계산이 쉽습니다.

어떤 함수든간에 앞에 e^at 꼴이 곱해져있다면 그만큼 s->s-a를 대입해서 변환 할 수 있습니다. 라플라스는 S세상에서 벌어지는 일이라고 했습니다. 그렇다면 xy평면에서 벌어지는 일과같이 라플라스에서는 s축방향으로 a만큼 평행이동했다고 생각할 수 있습니다. 즉, e^at 는 s축의 방향으로 평행이동할 수 있는 도구인 셈이지요. 이것을 s-Shifting 이라고 합니다. 나중에 복잡한 형태의 라플라스 역변환시에 s-a형태를 발견한다면 평행이동을 통해 더 쉽게 구할 수 있게 되는 것입니다.

#3. 삼각함수

삼각함수의 경우 cos과 sin이 서로 미분했을때 비슷해지기 때문에 서로에 대한 라플라스값을 이용하게 됩니다.

마지막항을 보면 앞의 계수 w/s를 제외하고 보면 sinwt 의 라플라스 변환식과 동일해집니다. 따라서 이것을 반영해서 계산식을 다시 세우면

가 됩니다. 그렇다면 반대로 sin을 라플라스 변환하면 cos에 관한 라플라스가 나오게 되겠죠?

이것을 위의 coswt 변환에 넣어주면

마찬가지로 sin의 변환값에 cos값의 변환을 대입하여 계산해주면

이 됩니다.

#4. s- Shifting

앞에서 언급했던 s축 평행이동입니다. 어떤 함수에 지수함수꼴이 곱해져 있다면 쉽게 변환 할 수 있다는 것이지요. 예시를 통해 확인 하고 넘어가도록 하겠습니다.

이렇게 해서 라플라스변환법의 기본적인 공식들에 대한 증명들을 해보았습니다. 다음글에서는 미분방정식을 직접 라플라스변환하여 좀 더 쉽게 풀이하는 방법들에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

15강. 라플라스 변환

[ 라플라스 변환(Laplace Transform) ]

라플라스변환이란 시간영역에있는 함수를 주파수의 영역으로 바꿔주는 함수를 말합니다. 라플라스 변환을 사용하는 이유는 다양한 입력함수에 적용이 가능하다는 점입니다. 그리고 회로의 초기조건들을 알때, 미분방정식을 푸는것보다 훨씬 더 간단하게 회로를 해석할 수 있습니다. 마지막으로 회로전체의 응답을 한 번의 계산으로 쉽게 파악할 수 있습니다. 이제 라플라스 변환의 정의를 해보겠습니다.

시간함수 f(t)를 주파수함수 F(s)로 변환한 모습입니다. 위 식에서 s는 복소수 변수로서 실수와 허수부로 나뉩니다.

$$ s = \sigma+j\omega$$

라플라스 변환에대한 설명을 이어가기 전, 단위계단함수와 임펄스함수에대해서 다루고 넘어가도록하겠습니다.

① 단위계단함수 (Unit Step Function)

단위계단함수는 시간 t가 0보다 작을때는 함수값이 0, 0보다 클때는 함수값이 1입니다. 즉, 특정시간에 스위치를 켰을 때, 회로의 동작을 표현하기에 적합한 함수입니다.

② 임펄스함수

임펄스함수는 t=0일때만 정의되는 함수입니다. 그리고 시간의 전 구간에서 적분을 하면 1이라는 값이 나오게됩니다. 이 함수는 주로 다른 함수와 곱해져 특정시간의 함수값을 추출하는데 사용하게 됩니다. 아날로그-디지털변환에서 신호를 샘플링하는데도 사용되는 함수입니다.

$$f(t)$$ $$F(s)$$ $$\delta(t)$$ 1 $$u(t)$$ $$\frac{1}{s}$$ $$e^-{at}$$ $$\frac{1}{s+a}$$ $$t$$ $$\frac{1}{s^2}$$ $$t^n$$ $$\frac{n!}{s^{n+1}}$$ $$\sin{\omega t}$$ $$\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$$ $$\cos{\omega t}$$ $$\frac{s}{s^2+\omega^2}$$ $$sin(\omega t+\theta)$$ $$\frac{s \sin\theta+\omega \cos\theta}{s^2+\omega^2}$$ $$cos(\omega t+\theta)$$ $$\frac{s \sin\theta-\omega \cos\theta}{s^2+\omega^2}$$ $$e^{-at}\sin(\omega t+\theta)$$ $$\frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$$ $$e^{-at}\cos(\omega t+\theta)$$ $$\frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}$$

각 대표적인 시간함수의 라플라스 변환결과를 정리한 표입니다. 위 식에서 2가지식에 대해서 증명하고 넘어가도록 하겠습니다.

성 질 $$f(t)$$ $$F(s)$$ Linearity $$a_1f_1(t)+a_2f_2(t)$$ $$a_1F_1(s)+a_2F_2(s)$$ Scaling $$f(at)$$ $$\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$$ Time Shift $$f(t-a)u(t-a)$$ $$e^{-as}F(s)$$ Frequency Shift $$e^{-at}f(t)$$ $$F(s+a)$$ Time Differentiation $$\frac{df}{dt}$$ $$sF(s)-f(0^-)$$ $$\frac{d^nf}{dt^n}$$ $$s^nF(s)-sf'(0)- … -f^{n-1}(0)$$ Time Integration $$\int_{0}^{t}f(x)dx$$ $$\frac{1}{s}F(s)$$ Frequency Differentiation $$t(f)$$ $$-\frac{d}{ds} F(s)$$ Initial value $$f(0)$$ $$\lim_{s\rightarrow \infty}sF(s)$$ Final value $$f(\infty)$$ $$\lim_{s\rightarrow 0}sF(s)$$ Convolution $$f_1(t) \ast f_2(t)$$ $$F_1(s)F_2(s)$$

위의 표는 라플라스 변환의 성질입니다. 마찬가지로 위의 나온 예에서 몇가지 증명을 통해 식이 성립하는지 보여드리겠습니다.

※ 라플라스 변환의 적용

시간함수 f(t)의 시간에따른 함수값을 나타낸 그래프입니다. 먼저 이 함수를 라플라스 변환하기 이전에 함수를 시간에대한 표현식으로 나타내야합니다.

[ 라플라스 역변환 (Inverse Laplace Transform) ]

주파수영역의 함수 F(s)의 경우 다시 시간함수로 변환하기위해서 라플라스 변환을 역으로 적용하여 원래의 시간함수로 바꿔야만 시간함수에대한 해석을 완료할 수 있습니다. 변환 방법에대해서 간단한 예를 통해 알아보겠습니다.

함수 F(s)를 원래의 시간함수로 돌려놓는 주요 테크닉은 부분 분수로 분해하여 계산하는 방법이 있습니다.

[ 컨볼루션 (Convolution) ]

컨볼루션은 번역하면 합성곱이라고도 합니다. 연산하고자하는 함수 중 하나를 반전시켜 시간축에따라 이동시키면서 그 값을 구하여 얻어내는 값입니다.

$$y(t)=x(t)\ast h(t) = h(t)\ast x(t)$$

컨볼루션은 교환법칙이 성립합니다. 함수 y(t)의 결과값을 구하는 방식 계산과정은 다를 수 있지만, 두 연산의 결과값은 동일합니다. 이제 컨볼루션의 정의대로 예제를 통해 계산해보겠습니다.

$$① 02 $$

$$\int_{t-1}{2} 1\times\2 = 6-2t $$

위 과정들을 종합하여 컨볼루션 연산 결과값 y(t)에대한 그래프를 그려보면

위와 같이 결과가 나옵니다.

이상으로 라플라스변환에대해서 포스팅 마치도록하겠습니다. 다음포스팅에서는 라플라스변환을 회로에 적용하는 방법과 몇 가지 문제를 통해서 확인하도록하겠습니다. 감사합니다 🙂

[공업수학] 2. 라플라스 변환(Laplace Transform) 예제

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사실 공업수학에서 미분방정식의 해를 구하기 위해 사용하는 방법이지만 별도로 미분적분학에 먼저 포스팅한다.

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라플라스 변환은 미분방정식을 대수방정식 꼴로 변환시켜 보다 쉬운 방정식을 풀 수 있다는 이점을 가지고 있는 변환법이다.

​

대수방정식은

이런 애들을 칭하는 말이다. 대수적인 특성을 가지고 있는 방정식을 의미하며(당연히..) 사칙연산을 통해 해를 구할 수 있는 방정식을 의미한다. 미분방정식은 미분개념과 적분개념이 모두 포함되어 있는 방정식인데, 이 방정식은 애초에 사람이 인지하기가 어렵다. 변화율을 인지하는 것 자체가 어렵기도 하고 지수함수나 삼각함수와 같은 초월함수들이 포함될 경우 더더욱 이해하기가 어렵다. 반면 대수방정식은 인수분해 또는 근의 공식을 통해 쉽게 해를 구할 수 있다는 장점이 있다. 또한 대수방정식의 해를 구하는 과정에서 자연스럽게 초깃값이 사용되므로 해의 형태가 일반해가 아닌 특수해 형태로 나온다는 장점이 있다.(미지상수가 없다는 뜻!)

라플라스 변환을 통해 미분방정식을 대수방정식으로 바꾸고, 대수방정식의 해를 구한 다음 다시 라플라스 역변환을 통해 원래 미분방정식의 해를 얻을 수 있다. 라플라스 역변환은 간단히 대수방정식을 다시 미분방정식으로 바꾸는 것을 말한다

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미분방정식의 해를 구하기 위해서는 두 가지 공식을 사용한다. ①기본 변환표, ②미분공식. 추가적으로 적분공식도 올려놓는다

s-shifting 이나 t-shifting 에 대해서는 따로 언급하지 않겠다. 보다 자세히 다루는 것은 추후 공업수학에서 포스팅할 때이지 않을까 싶다

​

(0) 라플라스 변환의 정의

라플라스 변환의 정의

이 정의를 이용해 시간에 대한 함수 f를 s라는 새로운 변수에 대한 함수 F로 변환시킬 수 있다. 물론 F(s)=f(t)를 의미하지는 않는다. s와 t 사이에는 어떠한 관계도 성립하지 않기 때문에.

​

예시를 통해 라플라스 변환을 더 알아보자

​

이에 더해 라플라스 변환이 가지고 있는 매우 중요한 성질, 선형성 또한 유도해보자

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라플라스 변환의 선형성(Linearity)

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미분방정식은 대개 여러 개의 항으로 구성되어있기 때문에 선형성을 가진다는 사실을 알고 있어야 정상적으로(정석적으로) 해를 구할 수 있다

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(1) 라플라스 변환표

erwin kreyszig 의 advanced engineering mathematics 10th edition

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공식이 더 있긴 한데 이정도면 충분하다. 나머지는 미분공식, 적분공식으로 직접 구할 수 있는 것들이다. 왼쪽에 F(s)가 위치한 이유는 위 테이블을 가지고 역변환 하라고.

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(2) 미분공식, 적분공식

미분방정식은 함수f의 도함수가 포함되어있는 방정식이다. 따라서 미분방정식을 라플라스 변환을 통해 풀 때 도함수에 대한 라플라스 변환을 수행하는 것은 필수적이다. 추가적으로 적분에 대한 공식 또한 미분공식의 유도과정과 같은 방식으로 유도할 수 있다

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라플라스 미분공식

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유도 과정은 다음과 같다

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먼저, 1계 도함수에 대한 유도 과정이다

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다음으로 n계 도함수에 대한 유도과정이다

​

+) 적분공식

출처 : erwin kreyszig 의 advanced engineering mathematics 10th edition

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(3) 라플라스 변환을 이용해 미분방정식 풀기

(예제 1)

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(예제 2)

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기본적으로 변환표를 이용하기 위해서는 부분분수 합 꼴로 변환해주어야 한다

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Any Qustions, Any Comments WELCOME 🙂

오타나 오류 지적 감사히 받습니다

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#5.Laplace transform(8.문제 풀이)

그림출처

Laplace transform 문제 풀이

저번 문제가 좀 많았나요?ㅋㅋㅋㅋㅋ 저도 푸는데 좀 힘들….었습니다. ㅋㅋ 옛날 기억을 되살리려니 아무래도 책을 뒤지고, 풀이과정을 깔끔히 정리하기 위해 노력하다보니 포스팅이 늦어졌네요 ㅠㅠ 문제들은 제가 이곳 저곳에서 풀어보다가, 반드시 알아야 한다! 하는 문제들을 주로 모아보았습니다. 당연히 kreyszig 아저씨의 책에 실려있는 것도 있죠. 저도 풀면서 몇 가지 헷갈렸던 사항들을 적어드린 후, 본격적인 문제풀이에 들어가도록 합시다.

또한, 이 많은 문제들을 함께 풀고 확인해준, 가끔 댓글도 남겨주는 같은 과 후배 승훈 군에게 감사의 한 마디를 전합니다! ㅋㅋㅋ 시험은 무사히 봤을거라 믿고있습니다. 두 사람이나 풀었지만, 그래도 틀린 부분이 있을 수 있으니 언제든 댓글로 질문/오타지적은 감사히 받아들이겠습니다!

1. shifting

말이 필요없을 정도로 헷갈리는 부분이었습니다. ㅋㅋㅋㅋ t-shifting 의 경우에는 와 가 동시에 부호가 붙는 반면, s-shifting 의 경우에는 쪽에는 부호가 붙지만 쪽에는 부호가 붙습니다. 사실 지금 쓰면서도 헷갈려서 다시 한 번 확인하고 왔네요 ㅋㅋ 저는 시험 때 정말 답답해서, 알파벳 순서대로 니까 부호의 개수도 각각 순서대로 1개, 2개 라고 억지로 암기해서 들어갔던 기억이 납니다 ㅠㅠ

게다가, s-shifting 은 직접 ODE를 풀 때 절대로 간단한 풀이가 나올 수 없게 만드는 주적(?)이기 때문에, 잘 연습해두어야 하겠습니다. 2-5번같은 경우가 특히 많이 연습해 두어야할 케이스같네요 ㅎㅎ

2. 부분분수

부분분수가 조금만 복잡해지면, convolution 을 이용해야할 지 직접 부분분수로 헤쳐야 할지를 선택해야하는 기로에 놓일 때가 있습니다. convolution 의 경우에는 를 처리할 때 적분기호안에 들어가는 함수가 삼각함수…정도만 되어도 아주 귀찮을 거구요, 부분분수로 헤쳐야 하는 경우에는 자칫하다가 미지수가 3개는 가볍게 넘어가는 연립방정식을 풀어야하는 귀찮음이 생깁니다. 물론 문..제를 풀기는 풀어야 하니 어쩔 수 없지만 ㅋㅋ 각자에게 맞고 마음에 드는 방법을 손에 익히시길 바랍니다!

3. 미, 적분 관계와 삼각함수

삼각함수가 제곱, 세제곱….이 되어있는 경우에는 미분을 할 경우 잘 정리해서 원래의 세제곱 형태가 나올 수도 있습니다. 그것을 아주 교묘히 활용한 예제가 1-1과 1-3이 되겠네요. 삼각함수는 서로 밀접한 상관관계가 있고, 이것을 잘 이용해서 Laplace transform 결과를 얻어내는 방법을 익혀두면 좋을 것 같습니다.

4. shifted data problems

처음 문제를 보고 조금 당황하셨을 것 같아 죄송하네요 ㅋㅋㅋ 3-1-5번 문제가 바로 그것인데, 이 문제는 의 초기값이 이 아닌 다른 경우가 주어져있었습니다. 이럴 경우에는 를 치환해서 다른 문자로 만든 다음 초기값을 0으로 만들어줘야 합니다. 자세한 것은 문제에서 보도록 합시다. ㅋㅋ

Problems & answers

1. Laplace transform

주어진 함수의 Laplace transform 결과를 구하시오.

이 문제는 단순히 삼각함수를 변형하기만 하면 끝나는 문제였습니다. ㅋㅋ 풀이는 아래에서 확인해봅시다.

단순한 s-shifting 문제였습니다. 일단 의 laplace transform 을 구한 다음 s-shifting 을 시키면 되는 거였죠?

1-1번 문제를 함께 활용하고, laplace transform 의 미분 관계식을 교묘히 사용해야하는 문제였습니다. 삼각함수를 교묘하게 정리하는 것이 관건인 문제네요!

또는 를 미분, 적분해야만 얻을 수 있는 관계식이 드디어 나왔습니다. 원리를 잘 이해했다면 조금 헷갈려도 잘 풀 수 있을겁니다.

unit-step function 입니다. 함수를 잘 만드는 것 뿐만 아니라, 만들어진 함수 안에 있는 를 원래함수에 맞게 잘 shifting 시키는 것 또한 중요한 문제입니다. 1-6번과 더불어 잘 익혀둡시다. 개인적으로 unit-step function 에서 나오는 삼각함수는 번거롭지 않아서 좋더군요 ㅋㅋㅋ 1-6을 보면 지옥같은 귀찮음을 방불케 하는 귀찮음을 볼 수 있을겁니다 ㅋㅋ

역시, unit-step function 입니다. (**2015.10.08 수정 : 댓글로 <유니생>님이 지적해주셔서 올바른 풀이로 수정했습니다!)

dirac’s delta function 은 너무 쉽….네요! ㅋㅋㅋㅋ 풀이를 보고 확인~

분수를 두 번 미분하면서 실수하기 쉬운 문제입니다. 차근차근 미분하면 답이 나오는데, 답도 그리 만만하지는 않네요 ㅠ

네 세…번을 미분하는 문제였고, 1-8번과 같은 원리입니다. ㅋㅋㅋ

대놓고 convolution 을 하라는 문제입니다. 풀이가 가장 짧은 것 같네요 ㅋㅋ

역시 unit-step function 이었지만, 삼각함수의 특성 상 만큼 이동해도 똑같은 함수가 나오기 때문에 별로 신경쓰지 않아도 되는 문제였습니다.

삼각함수와, 의 미분이 섞인 문제입니다. 이것도 마찬가지로 차근차근 미분해보면 답을 얻을 수 있네요.

주기함수에 대한 공식은 거의 암기하고 있어야 빠르게 풀 수 있습니다. 한 주기 안에 있는 함수가 간단하니까, 어렵지 않게 풀 수 있었을 겁니다.

이것도 포스팅에서 했던 내용이죠? ㅋㅋ 교묘한 원리를 잘 기억해둡시다.

2. Inverse laplace transform

주어진 함수의 inverse Laplace transform 결과를 구하시오.

문제 4번까지는 거의 똑같이 생긴 모양의 함수가 어떻게 inverse laplace transform 이 이루어지는지 체험해 보시라는 의미에서 숫자를 임의로 만들어 봤습니다. ㅋㅋㅋ 이 경우에는, 부분분수로 만드는 방법이 제일 편하네요.

이번에는 분모의 인수분해가 불가능한데, 잘 쪼개보면 의 laplace transform 결과를 볼 수 있습니다. 숫자와 문자를 잘 조작해서 inverse laplace transform을 하는 요령이 빨리 키워져야만 laplace transform 을 잘 할 수 있습니다! 특히 중요한 문제였다고 할 수 있네요 ㅋㅋ

2-1번 문제에서 t-shifting 만 이루어진 문제라고 할 수 있습니다. 최종 답안은 저렇게 써도 되고, 그냥 가 곱해진 형태로 나타내어도 됩니다.

이번에는 2-2번 문제에서 t-shifting 이 이루어졌네요. 다행히도 가 아니니까 그대로 shifted 된 값을 써주면 되지만, 만약 의 경우에는 반드시 가 없는 형태로 바꿔주는것이 삼각함수에 대한 예의(?)입니다. ㅋㅋㅋㅋ

정말 중요한 문제입니다. s-shifting 을 얼마나 잘 재주껏 식을 조작해서 만들어낼 수 있느냐를 살펴보는 문제인데, 분모와 분자에 숨어있는 을 잘 찾아내서 적절하게 사용할 수 있는 형태로 고치는 것이 관건입니다. 이런 형태의 문제는 꼭 손에 익혀두도록 합시다.

convolution 은 이럴 때 쓰라고 만들어놓은 좋은 도구죠! 는 을 laplace transform 한 결과이니, convolution 을 할 때 적분 안에 들어가는 함수가 하나 줄어듭니다. 그러니 정말 편하게 를 구할 수 있는 거죠. 이런 안목을 자꾸 키우는 연습을!

s-shifting 과 t-shifting 이 동시에 일어난 경우입니다. 저는 s-shifting 을 먼저 풀었지만, 사실 어느 것을 먼저해도 결과는 마찬가지입니다. (**2015.10.08 수정 : 댓글로 <유니생>님이 지적해주셔서 올바른 풀이로 수정했습니다!)

제일 풀기 싫었던(…)문제였습니다. 분모의 인수분해가 잘 되었기에 망정이지….

convolution 을 이용했음에도 삼각함수의 덧셈공식을 활용하는 다소 귀찮은 문제였습니다. 물론 이 문제도 로 부분분수를 만들어 풀어도 무관합니다. (**2015.10.08 수정 : 댓글로 <유니생>님이 지적해주셔서 올바른 풀이로 수정했습니다!)

이전의 문제들에 비하면 딱히…

머리를 잘 굴려야 하는 문제였습니다. 의 미분에 따른 의 형태가 어떻게 되는지를 정확하게 이해한 다음 대입해야만 나올 수 있는 결과네요.

12, 13번은 로그함수를 특집으로 만들어보았습니다. 로그함수는 미분하면 상대적으로 형태가 복잡하지는 않기 때문에, 미/적분 관계만 신경써주면 그리 어렵지는 않습니다.

마찬가지 문제였지만, 을 미분할 때 분자에 가 오는 것을 빼먹지만 않게 조심합시다. 절대 제가 그랬다는 것은 아니구요. 하하

이것도, 대략난감한 함수를 미분했더니 Wow!하는 모양새가 만들어진 꼴이네요. 특히나 역삼각함수들은 미분형태가 특이하게 생겼으니, 잘 활용하도록 합시다.

3. Solving ODE

3-1. 아래 미분방정식을 푸시오.

1, 2번은 물론 미분을 해서 ODE를 풀어도 됩니다만, ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 굉장히 대놓고 convolution 을 쓰라는 모양이기 때문에, 이런 것을 잘 캐치할 수 있다면 시간과 노력과 인내심을 절약할 수 있겠죠.

마찬가지입니다. 앞에 붙어있는 를 안으로 가져오는데에 망설임이 없어도 되는 이유는, 적분기호 안에있는 녀석은 이므로 는 그냥 상수 취급하기 때문이죠!

슬슬 힘들어지기 시작합니다. 좌변에 만 남기고 정리를 하니까 또다른 관문이 기다리고 있네요. 사실 convolution 이 아니라 부분분수로 분해하는 편이 더 낫지 않았을까…하는 후회를 하기는 했습니다만….삼각함수를 자유자재로 다룰 수 있다면 convolution 도 크게 힘들지는 않을겁니다.

ODE의 우변에 unit step function 이 들어가 있는 경우 얼마나 고달파지는지를 잘 보여주는 예시라고 할 수 있겠습니다. 하….그나마 초기값이 0이었기에 조금 덜 복잡한 거죠……. unit step function 을 처리할 수 있어서 좋기는 하지만, 계산량도 그만큼 늘어나니 아이러니한 일입니다. ㅋㅋ

5.당황하셨….다면 죄송합니다. ㅋㅋㅋㅋ 초기값이 이 아닌 경우에 해당하는 문제인데요, 이 경우에는 풀이를 보시다시피 매우 많이 복잡합니다. 전부 shifting 을 시킨 다음 다시 답을 inverse shifting 시켜야 하기 때문이고, 그렇다고 shifting 된 함수를 가지고 계산하는 것이 그리 쉬운 일도 아닙니다.

6.

이 정도가 일반적인 laplace transform 의 난이도..라고 생각하시면 되겠습니다. ㅋㅋㅋㅋ 부분분수가 조금 귀찮긴 하지만, 숫자가 그나마 쉽게 나오니 다행이라고 생각합시다.

7.타이핑을 해준 저의 손가락에 감사를….ㅋㅋㅋㅋ 시험에는 이런 문제가 나오겠죠 ㅠㅠ

3-2. 아래 미분방정식을 Laplace transform 시킨 후, 와 그 미분에 대한 식으로 정리하시오.

사실 정리를 한 다음에 에 대한 ODE를 풀어도 되는데, 문제가 너무 복잡해지고 제가 풀기 귀찮..(?) 풀이가 길어져서 자제했습니다. ㅎㅎㅎ 특히 이 문제를 풀면서 주의해야할 사항은, 라던가, , 를 구하는 과정입니다. 잘 익혀두도록 합시다.

사실 이건, Bessel equation 이었습니다. 그래서 최종 결과로 나온 을 에 대해 풀어서 구하면 Bessel function이 나올겁니다. 시도해보고 싶으시다면 시도해보세요!ㅋㅋㅋ

그리고, 특히 주목할 점은 식을 정리하는 과정에서 이 알아서 없어진다는 사실입니다. 그래서 초기값 없이도 풀 수 있기는 한 문제가 되었죠. 물론 에 대한 ODE를 풀면서 초기값이 들어가야하긴 할겁니다.

이 식은 Airy’s equation 이라고 불리우는 식입니다. 이 식은 풀기 위해서 노력을 해도 계속 똑같은 형태의 식만 나오는 특이한 ODE인데요, series solution 을 구한 다음 구해진 와 비교해 봐도 의미있는 작업일 것 같습니다.

낯선 식에서 느껴지는 익숙한 냄새, 바로 Legendre’s equation 이네요. 이건 정리가 되어도 에 대한 2차 ODE이기 때문에 풀기가 쉽지는 않을 것 같습니다. 정도를 대입해보면 괜찮을까요?ㅋㅋㅋ Legendre polynomial 과 비교해보는 작업도 의미가 있을 것이라고 추천합니다.

이 문제의 원래 모양은 이고, Laguerre’s equation 이라고 이름이 붙어있습니다. 이 아닌 일반적인 형태로 정리한다면, 이 될테고, 이것을 풀면

이런 모양이 됩니다. 인 특수경우에 대해서 성립하는지 한 번 확인해봅시다.

3-3. 에 대해, 아래 물음에 답하시오.

저도 풀다가 신기해서 한 번 가져와 봤습니다. ㅋㅋㅋㅋ 자세한 건 아래의 풀이과정을 참조하시면 되는데요, 아마 저 식을 증명하는 다양한 방법 중에 laplace transform 과 convolution을 효과적으로 적용한 방법이 되겠네요.

마무리

이렇게, Laplace transform 도 대단원의 막을 내렸고, 이제 저의 ODE포스팅은 끝입니다. 결코 쉽지 않았을 내용을, 제 특유의 의식의 흐름 기법과 함께 하시느라 고생하셨습니다 ㅠ 다음 포스팅에서 Outro로 찾아뵙겠습니다. 뿅!

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