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반각공식 (formulas for half angles) | 과학문화포털 사이언스올
반각공식이란 삼각함수에서 덧셈정리로부터 유도되는 공식인데, θ/2의 삼각함수를 θ의 삼각함수로 나타내는 공식을 말한다. 반각의 공식은 sin, cos, …
Source: www.scienceall.com
Date Published: 10/13/2021
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삼각함수의 배각공식과 반각공식 – 생새우초밥집
삼각함수의 배각공식과 반각공식. trigonometric entity. 목차. 개요; 배각 공식. 증명. 반각 공식. 증명 …
Source: freshrimpsushi.github.io
Date Published: 6/30/2022
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주제에 대한 기사 평가 삼각 함수 반각 공식
- Author: 수악중독
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- Date Published: 2016. 3. 20.
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[삼각함수 3편] 삼각함수 배각 공식과 반각공식
지난 시간에 삼각함수의 기본과 덧셈정리를 알아보았습니다.
https://rightnews.co.kr/2
https://rightnews.co.kr/3
오늘은 삼각함수의 배각공식과 반각공식을 알아보겠습니다. 배각공식이란 삼각함수의 각이 두배인 경우는 그 절반각과의 관계를 알아보는것입니다. 삼각함수의 그래프는 보신것처럼 올라갔다 내려왔다의 반복이기에 이와 같이 다양하게 응용하는 공식들을 볼 수 있는 것입니다.
그럼 배각공식을 먼저 살펴보겠습니다.
sin2α = 2sinα cosα
cos2α = cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α
tan2α=2tanα / (1-tan²α)
공식의 유도는 의외로 간단합니다. 전에 배운 삼각함수의 덧셈정리에 베타 대신 알파를 대입하면 쉽게 배각 공식을 얻을 수 있습니다. 증명은 아래와 같습니다.
배각 공식 증명
다음은 반각공식을 살펴보겠습니다. 공식은 아래와 같습니다.
삼각함수 반각공식
반각공식은 배각공식을 통해서 쉽게 유도할 수 있습니다. 똑같이 대입하면 됩니다.
반각공식 유도
복잡해져가는게 아니라 공식이 나오면 나올수록 더 쉬워지지요?
수학이 이렇게 연역적이고 논리적 학문이기에 많은 재미를 느낄 수 있지만, 처음에 머리가 아픈것을 못이기고 수학을 포기하는 사람들이 많아서 아쉽습니다.
https://rightnews.co.kr/2
https://rightnews.co.kr/15
https://rightnews.co.kr/4
https://rightnews.co.kr/16
https://rightnews.co.kr/6
https://rightnews.co.kr/8
[수학개념] 미적분 삼각함수 반각공식, 배각공식, 합성
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[수학개념] 미적분 삼각함수 반각공식, 배각공식, 합성삼각함수 덧셈 정리하다가 이어서 계속 개념 설명하게 됐네요~
[수학개념] 미적분 삼각함수 반각공식, 배각공식, 합성배각공식은 각 함수의 덧셈 정리에서 나온거고요
반각공식은 배각공식에 코사인 공식을 이용해서 나온 공식 입니다.
[수학개념] 미적분 삼각함수 반각공식, 배각공식, 합성 – 합성합성도 덧셈정리하고 나오는 공식들인데요
무작정 외우지 말고 왜이렇게 나왔는지 생각해보면 외우기 쉬울거에요
전개와 인수분해 처럼
덧셈 정리에 역연산이라고 생각하면 될 것 같습니다.
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반각공식 (formulas for half angles)
반각공식이란 삼각함수에서 덧셈정리로부터 유도되는 공식인데, θ/2의 삼각함수를 θ의 삼각함수로 나타내는 공식을 말한다.
반각의 공식은 sin, cos, tan 세 개의 삼각함수를 모두 나타낼 수 있다.
을 이용해서 로 정리된다.
삼각함수의 배각공식과 반각공식
삼각함수의 배각공식과 반각공식
삼각함수의 배각공식과 반각공식
trigonometric identity
개요
초밥집 사장들이 고등학생이었을 때는 배각, 반각 공식에 합차 공식까지 교육과정에 있었는데 요즘은 아닌 걸로 알고 있다. 아래의 공식들은 모두 덧셈 공식으로부터 유도할 수 있으니 이를 모두 외우기 보다는 유도 과정을 익혀 필요할 때 마다 유도해서 쓰는게 좋다.
배각 공식
$$ \begin{align*} \sin 2\theta &=2\sin\theta\cos\theta \\ \cos 2\theta &=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=2\cos^{2}\theta-1=1-2\sin^{2}\theta \\ \tan 2\theta &=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta} \end{align*} $$
증명
배각 공식은 사인과 코사인의 곱에서 코사인을 없앨 때 사용한다. 혹은 각도에 대한 항이 $\theta$와 $2\theta$에 대해서 나뉘어져 있을 때 $\theta$로 맞춰줄 때 사용한다. 덧셈 공식에서 $\theta_{1} = \theta_{2}=\theta$라고 두면 이끌어 낼 수 있다.
$\sin$
$$ \begin{cases} \sin(\theta+\theta)=\sin(\theta+\theta)=\sin 2\theta \\ \sin(\theta+\theta) = \sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta \cos \theta \end{cases} $$
$$ \implies \sin 2\theta =2\sin\theta\cos\theta $$
$\cos$
$$ \begin{cases} \cos(\theta+\theta)=\cos(\theta+\theta)=\cos 2\theta \\ \cos(\theta+\theta)=\cos \theta \cos\theta – \sin\theta \sin\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=2\cos^{2}\theta-1=1-2\sin^{2}\theta \end{cases} $$
$$ \implies \cos 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=2\cos^{2}\theta-1=1-2\sin^{2}\theta $$
$\tan$
$$ \tan 2\theta =\dfrac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta}=\dfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta} $$
분자, 분모를 $\cos^{2}\theta$로 나눠주면 아래와 같다.
$$ \tan 2\theta =\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta} $$
■
반각 공식
$$ \begin{align*} \sin^{2} \dfrac{\theta}{2}&=\dfrac{1}{2}(1-\cos\theta) \\ \cos^{2} \dfrac{\theta}{2}&=\dfrac{1}{2}(\cos\theta+1) \\ \tan^{2} \dfrac{\theta}{2}&=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta} \end{align*} $$
증명
반각 공식은 삼각함수를 적분할 때 차수를 낮춰주는 용도로 사용하는 등 여러 계산에서 유용하게 쓰인다. 코사인의 배각 공식을 이용하여 이끌어 낼 수 있다.
$\sin$
$$ \begin{align*} &&\cos 2\theta &=1-2\sin^{2}\theta \\ \implies && 2\sin^{2}\theta&=1-\cos2\theta \\ \implies && \sin^{2}\theta&=\dfrac{1}{2}(1-\cos 2\theta) \end{align*} $$
여기서 $\theta$를 $\dfrac{\theta}{2}$로 치환하면 다음을 얻는다.
$$ \sin^{2} \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{2}(1-\cos\theta) $$
$\cos$
$$ \begin{align*} &&\cos 2\theta &=2\cos^{2}\theta-1 \\ \implies && 2\cos^{2}\theta&=\cos 2\theta+1 \\ \implies && \cos^{2}\theta&=\dfrac{1}{2}(\cos 2\theta+1) \end{align*} $$
여기서 $\theta$를 $\dfrac{\theta}{2}$로 치환하면 다음을 얻는다.
$$ \cos^{2} \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{2}(\cos\theta+1) $$
$\tan$
$$ \tan^{2} \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}=\dfrac{\frac{1}{2}(1-\cos\theta)}{\frac{1}{2}(\cos\theta+1)}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta} $$
■
삼각함수 공식 모음
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* 덧셈정리
아래 나오는
모든 공식들은 이 덧셈정리에서 출발합니다.
* 2배각 공식 ———————————————————————
정리하면
* 3배각 공식 ———————————————————————
정리하면
3배각 공식은 거의 나오지도 않고
특히, 탄젠트 3배각은 본 적도 없습니다. ;;;;;
그냥 이런 공식이 있으니까 한번 해본 것 뿐입니다.
너무 신경쓰지 마세요~
* 반각 공식 ———————————————————————-
반각 공식은
코사인 2배각 공식에서 다 나옵니다.
그런데
반각이라는 걸 강조하려고(?) 이렇게 쓰죠
* 곱을 합·차로 변형 ————————————————————-
사인 덧셈정리 두 식을
더하고 빼면
이번에는
코사인 덧셈정리 두 식을
더하고 빼면
정리하면
* 합·차를 곱으로 변형 ———————————————————–
합·차공식의 좌변과 우변을 바꾸고
양변에 곱하기 2 (마지막은 곱하기 -2)
치환하고
대입하면
머리 아프죠..?! ㅠ
위에서도 말했듯이
그래도 있는 공식이니까 그냥 한번 해본 것입니다.
너무 신경쓰지 마세요~
우리는
덧셈정리, 2배각, 반각 정도만(?) 외우고
3배각, 곱을 합차로, 합차를 곱으로는
그냥 이런 공식이 있다라는 정도로만 알면 될듯요~
PS.
고등학생이 아직도 요렇게만 외우고 있나요..?! 용감하게..!!
고등학생이라면 이 정도는 외워 줘야… ;;;;;
자주 나오는 값들인데
외우고 있으면 편하잖아요..?!
외우기 싫으면
나올 때마다 이케 유도하던가요 ;;;;;
외울 거죠..?! ^-^// ;;;;;
요기로 가면 → www.gajok.co.kr/math.html
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키워드에 대한 정보 삼각 함수 반각 공식
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